构造真好玩.jpg

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可是我玩不动.png

$$\mathbf{A} =\{t|t=x^3+y^3+z^3-3xyz,x,y,z\in N^*\}$$

以下哪些数在$\mathbf{A}$内：$2019,2020,2021,2022$

注意到

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$$

令$y=x,z=x+1$，整理上式$=3x+1$

因此形如$3x+1$的数都可以用上式表示

同理，令$y=x,z=x-1$,整理上式$3x-1$

因此形如$3x-1$的数也可以用上式表示

因此$2020,2021$符合题意

这个构造的核心是想到以下两个式子(齐次展开真奇妙.jpg)：

$$(\sum x^2)(\sum x) = \sum x^3 + \sum x^2(y+z)$$

$$(\sum x)(\sum xy) = \sum x^2(y+z) + 3xyz$$

但是你没有证明为什么其它两个不行啊？

本着务实严谨的态度(事实上是不会证明)，我打了以下代码然后打了个表

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, a, b) for (Re int i = (a); i <= (b); ++i)
#define fd(i, a, b) for (Re int i = (a); i >= (b); --i)
#define edge(i, u) for (Re int i = head[u], v = e[i].v; i; i = e[i].nxt, v = e[i].v)
#define Re register
#define pb push_back
#define F first
#define S second
#define ll long long
#define lowbit(x) (x & -x)
#define N 3000055
#define mod 998244353
#define inf 1000000000
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof a)
#define mp(i, j) std::make_pair(i, j)
#define gcd(n, m) std::__gcd(n, m)
#define eps 0.0000000001
#define count(n) __builtin_popcount(n)
bool vis[N];
int cube (int x) {return x * x * x;}
int main ()
{
    fo (i, 1, 1000)
        fo (j, i, 1000)
            fo (k, j, 1000)
            {
                int now = cube(i) + cube(j) + cube(k) - 3 * i * j * k;
                if (now > 2333) continue;
                if (vis[now]) continue;
                vis[now] = 1;
            }
    fo (i, 0, 2333)
        if (vis[i]) printf("%d ", i);
    return 0;
}
​

```

打表如下(部分)：

0 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 18 19 20 22 23 25 26 27 28 29 31 32 34 35 36 37 38 40 41 43 44 45 46 47 49 50 52 53 54 55 56 58 59 61 62 63 64 65 67 68 70 71 72 73 74 76 77 79 80 81 82 83 85 86 88 89 90 91 92 94 95 97 98 99 100 101 103 104 106 107 108 109 110 112 113 115 116 117 118 119 121 122 124 125 126 127 128 130 131 133 134 135 136……

注意到被9整除的数都可以(除了$9$)，而仅被3整除而不被9整除的数都不行，故尝试证明

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$$

令$y=x+1,z=x+2$，整理上式$=9(x+1)$

注意到

$$(x+y+z)^2-3(xy+yz+xz)=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$$

所以3必定同时整除$(x+y+z)$和$(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$

因此对于$\forall t=3n,3\nmid n$，都无法表示成原式

至此本题证毕

还有一个好玩的性质是$(x+a)^2+(x+b)^2+(x+c)^2$与$(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+a)(x+c)$仅仅常数项有差别，于是我们可以进行这样的操作

本题出自港中深综合评价测试数学加试。