证明
$$\prod_{k=1}^{n-1} sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$
设
$$\omega = cos\frac{2\pi}{n}+ isin\frac{2\pi}{n}$$
则$1,\omega^1,\cdots,\omega^{n-1}$是$x^n=1$的解
又因为
$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\cdots+x+1)=0$
则$\omega^1,\cdots,\omega^{n-1}$是$x^{n-1}+\cdots+x+1=0$的解
所以
$$x^{n-1}+\cdots+x+1=(x-\omega)\cdots(x-\omega^{n-1})$$
令$x=1$并两边取模
$$n=|1-\omega|\cdots|1-\omega^{n-1}|$$
注意到
$$|(1-cos2\theta,sin2\theta)|=\sqrt{2-2cos2\theta}=2sin\theta\quad \quad (1)$$
所以
$$n=2^{n-1}sin\frac{\pi}{n}\cdots sin\frac{(n-1)\pi}{n}$$
即
$$\prod_{k=1}^{n-1} sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$
$Q.E.D.$
这是原参考答案的方法，难点在于想到$(1)$式，后来想了一想，发现它有一个比较明显的几何意义
$DC=DA$，$DA=(1-cos2\theta,-sin2\theta)=2sin\theta$
需要记住的一个构造所以就写了篇文章记录一下$QAQ$
如果有别的证法欢迎评论区留言w