挺简单的一种数列构造法
题外话
一个周日翻知乎翻到的，想起来现在自己都高三了连这个都不会，所以记录一下。
正文
众所周知二分法是一种有效的逼近方法，但是它收敛太慢
众所周知牛顿迭代法是一种收敛很快的逼近方法，但它并不方便手算(事实上切线方程依旧有极大可能是一个无理数组成的方程)
那我们咋办呢，我只需要举个例子你就会了
比如说你想求$\sqrt 5$
找到一个比$\sqrt 5$大的数，比如说$3$，令$a_0=3$，我们令
$$a_n=\frac 1 2 (a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}})$$
注意到$a_n<a_{n-1}$，并且右边由均值不等式显然是大于$\sqrt 5$的，并且事实上这个式子收敛的效率还是比较高的，如这里
$\sqrt 5=2.236067977$
$a_1=\frac{7} 3 = 2.3$
$a_2=\frac{47}{21}=2.238$
仅迭代两次就可以精确两位小数。
那么我们不妨思考一下标题，如何计算$\sqrt[m]{n}$
稍加思考可以知道
$$a_n=\frac{1}{m}[(m-1)a_{n-1}+\frac{n}{a_{n-1}^{m-1}}]$$
右边由均值不等式原性质是成立的
参考资料：海明的放缩笔迹